Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y t^{2} - 1.1 y$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1.1 y$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1.1$ comme ${1.04880884}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

Étape 1.1.3

Factorisez.

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Étape 1.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Étape 1.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Étape 1.3.2

Développez $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Étape 1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Étape 1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Étape 1.3.3

Associez les termes opposés dans $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

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Étape 1.3.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $t \cdot - 1.04880884$ et $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $- 1.04880884 t$ et $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Étape 1.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $0$ par $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $1.04880884$ par $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

Étape 1.3.5

Additionnez $t^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ comme $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$