Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $3$ dans $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Divisez $7$ par $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

Étape 4.2.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 1 - 7$ et $0$ .

$- 1 - 7 + C = 3$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $7$ de $- 1$ .

$- 8 + C = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 3 + 8$

Étape 4.3.2

Additionnez $3$ et $8$ .

$C = 11$

Étape 5

Remplacez $C$ par $11$ dans $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $11$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

Étape 5.2

Simplifiez $5 \ln (| x |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$