Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d f}{d x} = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d f = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d f = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$f + C_{1} = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = 5 \int x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 5 x^{2} + 4$ . Alors $d u = 10 x d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 5 x^{2} + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$10 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f + C_{1} = 5 \int \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{10}$ .

$f + C_{1} = 5 \int \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = 5 (\frac{1}{10} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{10} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5 (1)}{10} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.3.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $f$ par $2$ dans $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Étape 4.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 2$

Étape 4.2.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + K = 2$

Étape 4.2.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{8}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - \frac{8}{3}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{2 \cdot 3 - 8}{3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$K = \frac{6 - 8}{3}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $8$ de $6$ .

$K = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{2}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{2}{3}$ dans $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{2}{3}$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 2}{3}$