Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x e^{3 y} + e^{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x e^{3 y}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 3 y$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.3.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Étape 1.4

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $6 x e^{3 y}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Étape 1.5.2

Réorganisez les facteurs de $6 x e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

Étape 1.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 e^{3 y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} e^{3 y}$ par rapport à $x$ est $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $6 e^{3 y} x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

Étape 2.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 x e^{3 y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 x e^{3 y}$ .

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

Étape 5.2

Comme $2 e^{3 y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 e^{3 y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

Étape 5.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{3 y} x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 3 y$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.4

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $3 x^{2} e^{3 y}$ et $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 8.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 x^{2} e^{3 y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2} e^{3 y}$ de $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $- y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- y^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 10.5

Réécrivez $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

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Étape 12.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$