Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y - y$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez.

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Étape 1.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Étape 1.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Étape 1.4.3

Multipliez $x^{2} - 1$ par $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $y$ à partir de $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Étape 1.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Étape 1.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $1$ dans $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Étape 4.3

Simplifiez $1 + \ln (| 1 |)$ .

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Étape 4.3.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 + C = 1$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$C = 1 - 6$

Étape 4.4.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$C = - 5$

Étape 5

Remplacez $C$ par $- 5$ dans $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $- 5$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$