Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 4}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.2.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$