Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $e^{2 y}$ et $e^{3 x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.1.2.4

Divisez $e^{2 y - 3 x}$ par $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $e^{3 x + 3 y}$ par $e^{2 y - 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $3 y + 2 y$ et $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.2.3

Additionnez $3 y$ et $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{3 y}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $e^{3 y}$ à partir de $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Étape 3.4.2.4

Divisez $e^{2 x - 3 y}$ par $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Étape 3.5

Multipliez $e^{3 x + 3 y}$ par $e^{2 x - 3 y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1

Déplacez $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Étape 3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Étape 3.5.3

Associez les termes opposés dans $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

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Étape 3.5.3.1

Additionnez $- 3 y$ et $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Étape 3.5.3.2

Additionnez $2 x + 3 x$ et $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Étape 3.5.4

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 5 y$ . Alors $d u_{1} = 5 d y$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 5 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 4.2.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.2.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Alors $d u_{2} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.3.2.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $e^{5 x}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Étape 5.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{5 x}}{5}$ dans le numérateur.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Étape 5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Étape 5.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Étape 5.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Étape 5.4

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Développez $\ln (e^{5 y})$ en déplaçant $5 y$ hors du logarithme.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Étape 5.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Étape 5.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$