Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Étape 2.3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $15$ dans $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ .

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ .

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Étape 4.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

Étape 4.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + K = 15$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 15$

Étape 5

Remplacez $K$ par $15$ dans $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $15$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$