Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Ajoutez $2 t y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 2 t$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 t d t}$

Étape 2.2

Intégrez $2 t$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int t d t}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 t^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{t^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{t^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $e^{t^{2}}$ par $e^{- t^{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $- t^{2}$ et $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Étape 3.5

Simplifiez $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ par $e^{t^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ par $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{t^{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $3$ dans $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Étape 10.2

Simplifiez $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

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Étape 10.2.1

Associez les fractions.

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Étape 10.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Étape 10.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Étape 10.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Étape 10.2.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Étape 10.2.3

Divisez $C$ par $1$ .

$C = 3$

Étape 11

Remplacez $C$ par $3$ dans $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $3$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$