Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 7$ et $y (3) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (4 x - 7) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 x - 7 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x - 7 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 7 d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 7 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 7 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $0$ dans $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ .

$0 = 2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$ .

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$18 - 21 + K = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $21$ de $18$ .

$- 3 + K = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $3$ dans $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $3$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + 3$