Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $t$ , placez $28$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Développez ${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

Étape 2.3.2.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.8

Déplacez $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.9

Déplacez les parenthèses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.10

Déplacez les parenthèses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.11

Déplacez $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.12

Déplacez $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.13

Déplacez les parenthèses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.14

Déplacez les parenthèses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.15

Déplacez $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.16

Déplacez $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.17

Déplacez $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Étape 2.3.2.18

Multipliez $7$ par $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.19

Multipliez $49$ par $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.21

Additionnez $2$ et $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.23

Additionnez $4$ et $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.24

Multipliez $3$ par $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.25

Multipliez $21$ par $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.26

Multipliez $147$ par $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.27

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.28

Additionnez $2$ et $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.29

Multipliez $3$ par $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.30

Multipliez $21$ par $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.31

Multipliez $- 105$ par $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.32

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

Étape 2.3.2.33

Multipliez $25$ par $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.4

Comme $343$ est constant par rapport à $t$ , placez $343$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{6}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.6

Comme $- 735$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 735$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.8

Comme $525$ est constant par rapport à $t$ , placez $525$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

Étape 2.3.10

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Étape 2.3.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.11.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.11.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Étape 2.3.11.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Étape 2.3.11.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Étape 2.3.11.2

Simplifiez

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $s$ par $5$ dans $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ .

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ .

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $49$ par $1$ .

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 147$ par $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $175$ par $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $- 125$ par $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $147$ de $49$ .

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 98$ et $175$ .

$28 (77 - 125) + K = 5$

Étape 4.2.4

Soustrayez $125$ de $77$ .

$28 \cdot - 48 + K = 5$

Étape 4.2.5

Multipliez $28$ par $- 48$ .

$- 1344 + K = 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Ajoutez $1344$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 5 + 1344$

Étape 4.3.2

Additionnez $5$ et $1344$ .

$K = 1349$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1349$ dans $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1349$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Étape 5.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Multipliez $49$ par $28$ .

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 147$ par $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $175$ par $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $- 125$ par $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$