Calcul infinitésimal Exemples

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Étape 1.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Étape 1.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Étape 1.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $- 6 \ln (| x |)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{6}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(2, 1)$ , ne tenez compte que de $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ pour déterminer le $C$ . Remplacez $x$ par $2$ et $y$ par $1$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ comme ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \ln (64) + C = 1$

Étape 6.4

Ajoutez $\ln (64)$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 1 + \ln (64)$

Étape 7

Remplacez $C$ par $1 + \ln (64)$ dans $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $1 + \ln (64)$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$