Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 5 x + 1$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 5 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $- 2$ dans $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $15$ et $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Étape 4.2.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Étape 4.2.6

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Étape 4.2.7

Multipliez $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

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Étape 4.2.7.1

Associez $\frac{2}{15}$ et $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Étape 4.2.7.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{128}{15}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Étape 4.3.3

Associez $- 2$ et $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $128$ de $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{158}{15}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{158}{15}$ dans $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{158}{15}$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Étape 5.2

Associez $\frac{2}{15}$ et ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Étape 5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Étape 5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$