Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} - x = 10$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} = 10 + x$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{2} + \frac{x}{2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Divisez $10$ par $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{x}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (5 + \frac{x}{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{x}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{x}{2} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{x}{2} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{1}{4} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{2} + 5 x + K$