Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Étape 1.4

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$- 2 y = - y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 y = - y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- x y$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y - - y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- - y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{- x}$

Étape 4.3.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} - y^{2}$ par $x$ .

$(x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} x^{1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Étape 6.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{2 + 1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Étape 6.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $- x y$ par $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - x^{2} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $- x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $y^{2}$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Simplifiez

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Étape 8.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

Étape 8.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

Étape 8.3.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.3

Comme $- \frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.7

Associez $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.8

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.3.8.2.4

Divisez $- y^{2} x$ par $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = x^{3} - y^{2} x$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $y^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

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Étape 12.1.2.1

Additionnez $- y^{2} x$ et $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 15.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$