Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.1.3

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

Étape 1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Ajoutez $6 y x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $6 y x - y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $6 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

Étape 1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (6 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ .

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{3 x^{2} - x + C}$ comme $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{3 x^{2} - x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{3 x^{2} - x}$