Calcul infinitésimal Exemples

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y \ln (\frac{x}{y})$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \ln (y)$ et $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.5.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.8

Associez $\frac{y}{x}$ et $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.9

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.10

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.13

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.14

Simplifiez les termes.

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Étape 2.14.1

Associez $x$ et $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.14.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.14.3

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.16

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.1

Déplacez $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.16.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.17

Simplifiez $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Étape 2.19

Multipliez $\ln (\frac{x}{y})$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Étape 2.20

Simplifiez

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Étape 2.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 2.20.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1 - \ln (\frac{x}{y})$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1 - \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.2.3.2

Multipliez $\ln (\frac{x}{y})$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.2.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.2.5

Additionnez $0$ et $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 5.3.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{x}{y})$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- y}$

Étape 5.3.5

Remplacez $M$ par $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Étape 5.3.5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Étape 5.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 6.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- y (\ln (x) - \ln (y))$ par $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Étape 7.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Étape 7.4

Réécrivez $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ comme $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x$ par $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 7.6

Associez $x$ et $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{x}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Étape 9.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Étape 9.3

Simplifiez

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 12

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Réécrivez.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 13.1.2.1

Soustrayez $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Étape 13.1.2.2

Réécrivez.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Étape 13.1.3

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Étape 13.1.3.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Étape 13.1.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Étape 13.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y \ln (\frac{x}{y})$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Étape 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \ln (y)$ et $g (y) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 13.1.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.5.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.7

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.8

Associez $\frac{y}{x}$ et $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.9

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.10

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.13

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.14

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1.3.14.1

Associez $x$ et $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.14.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.3.14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.14.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.14.3

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.16

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.3.16.1

Déplacez $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.16.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.16.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.17

Simplifiez $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Étape 13.1.3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Étape 13.1.3.19

Multipliez $\ln (\frac{x}{y})$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Étape 13.1.3.20

Simplifiez

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Étape 13.1.3.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.3.20.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.4

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 13.1.4.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 13.1.5

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 13.1.5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1 - \ln (\frac{x}{y})$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Étape 13.1.5.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ n’est pas une identité.

Étape 13.1.6

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 13.1.6.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 13.1.6.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1 - \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Étape 13.1.6.3

Remplacez $M$ par $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Étape 13.1.6.3.1

Remplacez $M$ par $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.6.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.2.3

Multipliez $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

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Étape 13.1.6.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.2.3.2

Multipliez $\ln (\frac{x}{y})$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.2.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.2.5

Additionnez $0$ et $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Étape 13.1.6.3.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Étape 13.1.6.3.4

Annulez le facteur commun de $\ln (\frac{x}{y})$ .

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Étape 13.1.6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Étape 13.1.6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- y}$

Étape 13.1.6.3.5

Remplacez $M$ par $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

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Étape 13.1.6.3.5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Étape 13.1.6.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y}$

Étape 13.1.6.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 13.1.7

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 13.1.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 13.1.7.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 13.1.7.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 13.1.7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.7.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 13.1.7.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 13.1.7.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 13.1.8

Multipliez les deux côtés de $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 13.1.8.1

Multipliez $- y (\ln (x) - \ln (y))$ par $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Étape 13.1.8.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 13.1.8.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Étape 13.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Étape 13.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Étape 13.1.8.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Étape 13.1.8.4

Réécrivez $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ comme $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Étape 13.1.8.5

Multipliez $x$ par $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 13.1.8.6

Associez $x$ et $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Étape 13.1.9

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Étape 13.1.10

Intégrez $N (x, y) = \frac{x}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 13.1.10.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.1.10.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Étape 13.1.10.3

Simplifiez

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Étape 13.1.11

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Étape 13.1.12

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1.13.1

Simplifiez $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

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Étape 13.1.13.1.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 13.1.13.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (| y |) + g x$ .

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Étape 13.1.13.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.13.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.13.1.4.2

Divisez $\ln (| y |) + g$ par $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Étape 13.1.14

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Étape 13.1.15

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Étape 13.1.16

Associez $| y |$ et $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Étape 13.1.17

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- g$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Étape 14.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - g x + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$