Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Étape 1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = (x + 3) (x - 3)$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = (x + 3) (x - 3)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.2.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.2.1.3.4.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.2.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.2.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.2.1.3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Étape 2.3.2.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.2.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.3.8.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Étape 2.3.2.1.3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Étape 2.3.2.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.3.2.1.3.8.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.3.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 3.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.4

Pour écrire $\ln (| y |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.1

Associez $\ln (| y |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.1

Simplifiez $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

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Étape 3.7.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Étape 3.7.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Étape 3.7.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7.1.4

Appliquez la règle de produit à $y^{2} | x^{2} - 9 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7.1.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7.1.6

Simplifiez

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Étape 3.9

Réécrivez $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.10

Résolvez $y$ .

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’équation comme $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Étape 3.10.2

Divisez chaque terme dans $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ par ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 3.10.2.1

Divisez chaque terme dans $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ par ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.10.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$