Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $4 x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Étape 3.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Étape 3.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = x^{4} + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = x^{4} + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2.4

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $0$ dans $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ .

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Étape 10.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

Étape 10.2.3

Divisez $C$ par $1$ .

$1 + C = 0$

Étape 10.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$C = - 1$

Étape 11

Remplacez $C$ par $- 1$ dans $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $- 1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$