Calcul infinitésimal Exemples

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y \cos (x) + 2 x e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x e^{y}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Étape 1.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

Étape 2.6

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Étape 2.6.1

Additionnez $\cos (x) + 2 e^{y} x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Étape 2.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x e^{y} + \cos (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x e^{y} + \cos (x)$ .

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Étape 5.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

Étape 5.4

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

Étape 5.6

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$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sin (x) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.5

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.7

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Étape 8.7.1

Additionnez $y \cos (x) + 2 e^{y} x$ et $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 8.7.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

Étape 9.1.2

Soustrayez $2 x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $y \cos (x)$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $2 x e^{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $2 x e^{y}$ de $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 10

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 10.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$