Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $9 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{4}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{4}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $18$ .

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Étape 2.3.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{9}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{2 x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{4 x^{2}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $9$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ .

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Étape 3.4.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

Étape 3.4.6.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

Étape 3.4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

Étape 3.4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$