Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Étape 7.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Étape 7.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Étape 7.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Étape 7.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Étape 7.8.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Étape 7.9

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.9.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.9.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.9.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Étape 7.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Étape 7.11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Étape 7.12

Réécrivez $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ comme $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Étape 7.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Étape 7.14

Simplifiez

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Étape 7.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Étape 7.14.2

Simplifiez

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Étape 7.14.2.1

Multipliez $- (- x^{2} e^{- x})$ .

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Étape 7.14.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Étape 7.14.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Étape 7.14.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Étape 7.14.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $2 x$ par $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.1.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Étape 10.2

Simplifiez $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Étape 10.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Étape 10.2.1.4

Divisez $C$ par $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Étape 10.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + 2 + C$ .

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Étape 10.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 + C = 0$

Étape 10.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$C = - 2$

Étape 11

Remplacez $C$ par $- 2$ dans $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $- 2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$