Calcul infinitésimal Exemples

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{y^{4}}$ et $3$ .

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Retirez $y^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 4}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

Associez $y^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.1.2

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2.5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{3}, 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{3}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ par $y^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ par $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ .

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x^{4} y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- x y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y^{3}$ à partir de $K y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

Étape 3.3.2.4

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ .

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

Étape 3.3.2.5

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ .

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ par $x^{4} - x + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ par $x^{4} - x + K$ .

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4} - x + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

Étape 3.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Étape 3.3.5.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

Étape 3.3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Étape 3.3.5.7.2

Élevez $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Étape 3.3.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

Étape 3.3.5.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

Étape 3.3.5.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ comme $x^{4} - x + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ comme ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.3.5.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.3.5.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.3.5.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.3.5.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

Étape 3.3.5.7.5.5

Simplifiez

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

Étape 3.3.5.8

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$