Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d f}{d x} = 4 e^{x} + 4 x$ , $f (0) = - 10$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d f = (4 e^{x} + 4 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d f = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 4 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 4 x d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 4 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 2 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f + C_{1} = 2 x^{2} + 4 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $f$ par $- 10$ dans $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ .

$- 10 = 2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$ .

$2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$

Étape 4.2

Simplifiez $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 10$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 10$

Étape 4.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 10$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4 + K = - 10$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 + K = - 10$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 10 - 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $- 10$ .

$K = - 14$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 14$ dans $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 14$ .

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} - 14$