Calcul infinitésimal Exemples

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 (y + 3) d x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (y + 3)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.3

Associez $\frac{- 1}{y + 3}$ et $y$ .

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Étape 3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Étape 3.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $y + 3$ à partir de $x (y + 3)$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.2

Divisez $y$ par $y + 3$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$3$

$y$

$0$

Étape 4.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

Étape 4.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

Étape 4.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

Étape 4.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

Étape 4.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.8

Laissez $u = y + 3$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.8.1

Laissez $u = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.8.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 4.2.8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 4.2.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 4.2.8.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.10

Simplifiez

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 3$ .

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.12

Simplifiez

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Étape 4.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.2.12.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$