Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $t$ , placez $28$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 7 t^{2} - 5$ . Alors $d u = 14 t d t$ , donc $\frac{1}{14} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 7 t^{2} - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $7 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 t^{2} - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$14 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $14 t$ et $0$ .

$14 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{14}$ .

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{14}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{14}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{14}$ et $28$ .

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $28$ et $14$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $14$ à partir de $28$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $14$ à partir de $14$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $s$ par $5$ dans $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ .

$5 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 5$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 5$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2^{3} + K = 5$

Étape 4.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + K = 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$K = 5 - 8$

Étape 4.3.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$K = - 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 3$ dans $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 3$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} - 3$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.2

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{4}$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.5

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $343$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $- 5$ par $1372$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.10

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.11

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.12

Multipliez $49$ par $6$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.13

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $25$ par $294$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.15

Multipliez $7$ par $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.16

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.17

Multipliez $- 125$ par $28$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Étape 5.2.2.18

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) - 3$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $2401$ et $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.1.2

Associez $\frac{2401}{2}$ et $t^{8}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6860 t^{6}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $7350 t^{4}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3500 t^{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Étape 5.2.4.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3$

Étape 5.3

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 6}{2}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $6$ de $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{619}{2}$