Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $π$ et $y$ par $3$ dans $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Étape 4.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{π^{2}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Étape 4.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Étape 4.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ dans $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$