Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x^{2} + 8$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x^{2} + 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Associez $u^{- \frac{1}{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Étape 2.3.3.2

Placez $u^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ comme $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Étape 4.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Étape 4.2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Étape 4.2.7

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 12$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 12$ dans $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 12$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$