Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d A}{d t} = 0.05 A + 3200$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{0.05 A + 3200}$ .

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $0.05 A + 3200$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} d A = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{0.05 A + 3200} d A = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 0.05 A + 3200$ . Alors $d u = 0.05 d A$ , donc $\frac{1}{0.05} d u = d A$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 0.05 A + 3200$ . Déterminez $\frac{d u}{d A}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{0.05}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $0.05$ par $1$ .

$0.05$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{20}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.2

Comme $20$ est constant par rapport à $u$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$20 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$20 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$20 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.05 A + 3200$ .

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $A$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ par $20$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ par $20$ .

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 0.05 A + 3200 |)$ par $1$ .

$\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Étape 3.2

Pour résoudre $A$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 0.05 A + 3200 |)} = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} = | 0.05 A + 3200 |$

Étape 3.4

Résolvez $A$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$ .

$| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$0.05 A + 3200 = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $3200$ des deux côtés de l’équation.

$0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ par $0.05$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ par $0.05$ .

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $0.05$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Factorisez $0.05$ à partir de $0.05$ .

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05 (1)} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3.1.4

Séparez les fractions.

$A = \frac{1}{0.05} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3.1.5

Divisez $1$ par $0.05$ .

$A = 20 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3.1.6

Divisez $\pm e^{\frac{t + C}{20}}$ par $1$ .

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) + \frac{- 3200}{0.05}$

Étape 3.4.4.3.1.7

Divisez $- 3200$ par $0.05$ .

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) - 64000$