Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $y \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - y \tan (x)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y \tan (x))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y \tan (x))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y \tan (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (\tan (x)))$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \tan (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \tan (x) d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \tan (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \tan (x) d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (x) |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (| \sec (x) |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | \sec (x) |) = C$

Étape 3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| y \sec (x) |) = C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y \sec (x) |)} = e^{C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (| y \sec (x) |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y \sec (x) |$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $| y \sec (x) | = e^{C}$ .

$| y \sec (x) | = e^{C}$

Étape 3.6.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y \sec (x) = \pm e^{C}$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $y \sec (x) = \pm e^{C}$ par $\sec (x)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $y \sec (x) = \pm e^{C}$ par $\sec (x)$ .

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x)$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Étape 3.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.3.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Étape 3.6.3.3.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 3.6.3.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (x))$

Étape 3.6.3.3.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (x)$

Étape 3.6.3.3.5

Divisez $\pm e^{C}$ par $1$ .

$y = (\pm e^{C}) \cos (x)$

Étape 3.6.3.3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $(\pm e^{C}) \cos (x)$ .

$y = \cos (x) (\pm e^{C})$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \cos (x) C$