Calcul infinitésimal Exemples

$x (y + 1) d x = (y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$(y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y = x (y + 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} (y^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y + 1}$ par $y^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y + 1$ à partir de $x (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} x d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Divisez $y^{2} + 1$ par $y + 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Étape 4.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Étape 4.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Étape 4.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Étape 4.2.1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Étape 4.2.1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Étape 4.2.1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					-	$y$	-	$1$

Étape 4.2.1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$

Étape 4.2.1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$
							+	$2$

Étape 4.2.1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int y - 1 + \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.6

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.6.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 4.2.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{3}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.8

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.3.1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

Étape 4.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{5}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$