Calcul infinitésimal Exemples

$(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$ par $10 + x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$ par $10 + x^{4}$ .

$\frac{(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{4}} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $10 + x^{4}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(10 + x^{4}) \frac{d y}{d x}}{10 + x^{4}} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{3}}{y}}{10 + x^{4}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{1}{10 + x^{4}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{x^{3}}{y}$ par $\frac{1}{10 + x^{4}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{3}}{10 + x^{4}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{x^{3}}{10 + x^{4}}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{(10 + x^{4}) y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(10 + x^{4}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y (10 + x^{4})}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{3}}{10 + x^{4}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{4})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{3}}{10 + {(x^{4})}^{1}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{1} = x^{4}$ . Alors $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{1} = x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{10 + u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{10 + u_{1}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(10 + u_{1}) \cdot 4} d u_{1}$

Étape 2.3.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 (10 + u_{1})} d u_{1}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{10 + u_{1}} d u_{1}$

Étape 2.3.5

Laissez $u_{2} = 10 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u_{2} = 10 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $10 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10 + u_{1}]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [10] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.5.1.3

Comme $10$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $10$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $10 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + u_{1} |) + C_{2}$

Étape 2.3.8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{4} \ln (| 10 + x^{4} |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| 10 + x^{4} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 10 + x^{4} |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + C \cdot 4}{2}$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + 4 C)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + C)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (\ln (| 10 + x^{4} |) + C)}}{2}$