Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x + 2 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x + 2 y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x + 2 y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $4 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 2.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$4 y = 2 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 y = 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 y$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$\frac{4 y - (2 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 x y$ .

$\frac{4 y - (2 y)}{2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y - 1 \cdot 2 y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (4 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y (4 - 2)}{2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{y \cdot 2}{2 x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 2}{2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 x}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 x}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(3 x + 2 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3 x + 2 y^{2}$ par $x$ .

$(3 x + 2 y^{2}) x d x + 2 x y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x \cdot x + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Déplacez $x$ .

$(3 (x \cdot x) + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x y d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $2 x y$ par $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x y x d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 (x \cdot x) y d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 x^{2} + 2 y^{2} x) d x + 2 x^{2} y d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 2 x^{2} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Multipliez $2$ par $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 3 x^{2} + 2 y^{2} x$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y^{2} x$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 2 y^{2} x - 2 y^{2} x$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ de $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $3 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Étape 13.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Étape 13.5.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{3} + C$