Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 2$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $e^{2 t}$ par $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 6.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 6.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 6.5

Simplifiez

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 6.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ par $e^{2 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ par $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $\frac{2}{5}$ dans $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

Étape 9.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Étape 9.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

Étape 9.3.2

Pour écrire $\frac{2}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 9.3.3

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

Étape 9.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

Étape 9.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

Étape 9.3.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

Étape 9.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{10}$

Étape 10

Remplacez $C$ par $- \frac{1}{10}$ dans $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $- \frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{1}{e^{2 t}}$ par $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

Étape 10.2.3

Déplacez $10$ à gauche de $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$