Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

Étape 2.3.8

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

Étape 2.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ .

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.2

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.6.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

Étape 4.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

Étape 4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

Étape 4.2.9

Additionnez $5$ et $12$ .

$\frac{17}{12} + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{17}{12}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - \frac{17}{12}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{12}{12}$ .

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$K = \frac{24 - 17}{12}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $17$ de $24$ .

$K = \frac{7}{12}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{7}{12}$ dans $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{7}{12}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Étape 5.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$