Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Étape 2.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Étape 2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Étape 2.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{5} x^{3}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $\frac{2}{5}$ dans $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Étape 9.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Étape 9.2.3

Divisez $C$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $\frac{1}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Étape 9.3.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Étape 10

Remplacez $C$ par $\frac{1}{5}$ dans $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 10.2.2

Associez.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$