Calcul infinitésimal Exemples

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 y + t$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Étape 3.3

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Étape 3.4

Comme $t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$1 = 0$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = 0$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Étape 5.3.3

Remplacez $M$ par $y$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 6.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $y d t + (2 y + t) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $2 y + t$ par $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $2 y + t$ par $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Étape 12.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Étape 12.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{2 y + t}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Étape 13.3

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Étape 13.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 13.5.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Étape 13.5.2

Divisez $2$ par $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Étape 13.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Étape 13.7

Comme $t$ est constant par rapport à $y$ , placez $t$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.8

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Étape 13.9

Simplifiez

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$