Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 y - 2 y + 5}$ .

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $3 y - 2 y + 5$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2 y + 5} \cdot \frac{3 y - 2 y + 5}{2 x + 5}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 5}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 y - 2 y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2 y$ de $3 y$ .

$\int \frac{1}{y + 5} d y = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u_{1} = y + 5$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 5$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $y + 5$ .

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

Étape 2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 2 x + 5$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 2 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 5$ .

$\ln (| y + 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 5 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 x + 5 |)$ .

$\ln (| y + 5 |) = \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 5 |) - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.3

Pour écrire $\ln (| y + 5 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y + 5 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $\ln (| y + 5 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y + 5 |) \cdot 2 - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| y + 5 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1

Simplifiez $\frac{2 \ln (| y + 5 |) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2}$ .

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y + 5 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y + 5 |}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.6.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y + 5 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{\ln ({(y + 5)}^{2}) - \ln (| 2 x + 5 |)}{2} = C$

Étape 3.6.1.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2} = C$

Étape 3.6.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}) = C$

Étape 3.6.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.6.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(y + 5)}^{2}}{| 2 x + 5 |}$ .

$\ln (\frac{{({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.6.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.6.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.6.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.6.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{{(y + 5)}^{1}}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.6.1.5.2

Simplifiez

$\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Étape 3.8

Réécrivez $\ln (\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Étape 3.9.2

Multipliez les deux côtés par ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.9.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.3.1

Annulez le facteur commun de ${| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 5}{{| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y + 5 = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.9.4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = e^{C} {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = C {| 2 x + 5 |}^{\frac{1}{2}} - 5$