Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x y + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y + x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 x$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + y$ .

$3 x + 2 y = 2 x + y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 x + 2 y = 2 x + y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x + 2 y$ .

$\frac{3 x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + y$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x y + x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x y + x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 y - (2 x + y)}{x y + x^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 2 y - (2 x) - y}{x y + x^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 2 y - 2 x - y}{x y + x^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 2 y - y}{x y + x^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $y$ de $2 y$ .

$\frac{x + y}{x y + x^{2}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x y + x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x + y}{x (y) + x^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{x (y) + x \cdot x}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x + y}{x (y + x)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $x + y$ et $y + x$ .

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Étape 4.3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + y}{x (x + y)}$

Étape 4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(3 x y + y^{2}) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3 x y + y^{2}$ par $x$ .

$(3 x y + y^{2}) x d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x y x + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Déplacez $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x y + x^{2}$ par $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y + x^{2}) x d y = 0$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x y x + x^{2} x) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x \cdot x y + x^{2} x) d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x) d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2} x^{1}) d y = 0$

Étape 6.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{2 + 1}) d y = 0$

Étape 6.7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(3 x^{2} y + y^{2} x) d x + (x^{2} y + x^{3}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} x d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2} x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} x d x$

Étape 8.2

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} x d x$

Étape 8.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} x d x$

Étape 8.4

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} \int x d x$

Étape 8.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.6

Simplifiez

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 8.7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 8.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 8.7.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 8.7.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 8.7.5

Associez $y^{2}$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Étape 8.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.3.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 11.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.5

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.6

Associez $\frac{2 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.4.7.1

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.4.7.2

Divisez $x^{2} y$ par $1$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3}$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + x^{3} - x^{3}$

Étape 12.1.2

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} y + x^{3} - x^{3} - x^{2} y$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 0 - x^{2} y$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $x^{2} y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y - x^{2} y$

Étape 12.1.3.3

Soustrayez $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$