Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x + 2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$