Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$