Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = t^{- \frac{3}{2}}$ , $s (4) = - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$s + C_{1} = - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.2.1

Réécrivez $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ comme $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$s + C_{1} = \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$s + C_{1} = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $4$ et $s$ par $- 1$ dans $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ .

$- 1 = - \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$ .

$- \frac{2}{4^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + K = - 1$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + K = - 1$

Étape 4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{2^{1}} + K = - 1$

Étape 4.2.1.4

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{2} + K = - 1$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1 + K = - 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + K = - 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$K = - 1 + 1$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$K = 0$

Étape 5

Remplacez $K$ par $0$ dans $s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $0$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 5.2

Additionnez $- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$s = - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$