Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x + y$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y = 4 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (4 x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (4 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 x e^{- x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 x e^{- x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 x e^{- x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} y = \int 4 x e^{- x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = 4 \int x e^{- x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 7.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 7.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Étape 7.8

Réécrivez $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ comme $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Étape 7.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.3.6.1

Réécrivez $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ comme $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Étape 8.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C}{e^{- x}}$