Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} = e^{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = e^{x} - \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (e^{x} - \frac{1}{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{x} - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = e^{x} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = e^{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = e^{x} - \ln (| x |) + C$