Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d c}{d y} = 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d c = (0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}}) d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d c = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$c + C_{1} = \int 0.5 + \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$c + C_{1} = \int 0.5 d y + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + \int \frac{0.2}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2.3.3

Comme $0.2$ est constant par rapport à $y$ , placez $0.2$ en dehors de l’intégrale.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2.3.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 2.3.4.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 2.3.4.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 2.3.4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Étape 2.3.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$c + C_{1} = 0.5 y + C_{2} + 0.2 (2 y^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$c + C_{1} = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$c = 0.5 y + 0.4 y^{\frac{1}{2}} + K$