Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} - 2 t y = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = - 2 t$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 t d t}$

Étape 1.2

Intégrez $- 2 t$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 \int t d t}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} t^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 1}{1} t^{2} + C}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{- t^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- t^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- t^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- t^{2}}$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- t^{2}} (- 2 t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = e^{- t^{2}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $e^{- t^{2}}$ par $0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 e^{- t^{2}} (t y) = 0$ .

$e^{- t^{2}} \frac{d y}{d t} - 2 t y e^{- t^{2}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}} y] d t = \int 0 d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- t^{2}} y = \int 0 d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$e^{- t^{2}} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{- t^{2}} y = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- t^{2}} y = C$ par $e^{- t^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- t^{2}} y = C$ par $e^{- t^{2}}$ .

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- t^{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t^{2}} y}{e^{- t^{2}}} = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- t^{2}}}$