Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d t} = 6 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d r = (6 t + \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d r = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \int 6 t + \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$r + C_{1} = \int 6 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = 6 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.4

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 6 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$r + C_{1} = 3 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $- π$ et $r$ par $5$ dans $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ .

$5 = 3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$ .

$3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $3 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- π$ .

$3 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

Étape 4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$3 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 5$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $π^{2}$ par $1$ .

$3 π^{2} + \tan (- π) + K = 5$

Étape 4.2.1.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$3 π^{2} - \tan (0) + K = 5$

Étape 4.2.1.1.5

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$3 π^{2} - 0 + K = 5$

Étape 4.2.1.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 π^{2} + 0 + K = 5$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $3 π^{2}$ et $0$ .

$3 π^{2} + K = 5$

Étape 4.3

Soustrayez $3 π^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 5 - 3 π^{2}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $5 - 3 π^{2}$ dans $r = 3 t^{2} + \tan (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $5 - 3 π^{2}$ .

$r = 3 t^{2} + \tan (t) + 5 - 3 π^{2}$