Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d P}{d x} = 3 x \sqrt{x^{2} + 9}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d P = 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d P = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$P + C_{1} = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = 3 \int x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x^{2} + 9$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x^{2} + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$P + C_{1} = 3 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$P + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$P + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 2.3.5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$P + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$P + C_{1} = 1 u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.5

Multipliez $u^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$P + C_{1} = u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$P + C_{1} = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$P = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + K$