Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 5 y = 3 x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = \frac{3 x}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5 y}{x} = 3$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{5}{x} = 3$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{5}{x} y = 3$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{5}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{5}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{5}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{5 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{5 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{5})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{5}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{5}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} (\frac{5}{x} y) = x^{5} \cdot 3$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{5}{x}$ et $y$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{5} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{4} \frac{5 y}{x} = x^{5} \cdot 3$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + x^{4} (5 y) = x^{5} \cdot 3$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = x^{5} \cdot 3$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{5}$ .

$x^{5} \frac{d y}{d x} + 5 x^{4} y = 3 x^{5}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{5} y] = 3 x^{5}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{5} y] d x = \int 3 x^{5} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{5} y = \int 3 x^{5} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{5} y = 3 \int x^{5} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ comme $3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$x^{5} y = 3 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{6}$ .

$x^{5} y = \frac{3}{6} x^{6} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{5} y = \frac{3 (1)}{6} x^{6} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Étape 7.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{5} y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{6} + C$

Étape 7.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ par $x^{5}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{5} y = \frac{1}{2} x^{6} + C$ par $x^{5}$ .

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5} y}{x^{5}} = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{6}}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x^{5}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5}} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{5} (\frac{1}{2} x)}{x^{5} \cdot 1} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{2} x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{5}}$

Étape 8.3.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{5}}$