Calcul infinitésimal Exemples

$6 x^{2} d x - 2 (y d) y = 0$

Étape 1

Soustrayez $6 x^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y d y = - 6 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 2 y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int y d y = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = \int - 6 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$- y^{2} + C_{1} = - 6 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $- 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{3}$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 6}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- y^{2} + C_{1} = - 2 x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- y^{2} = - 2 x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = - 2 x^{3} + K$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 x^{3}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 x^{3})$ comme $- (- 2 x^{3})$ .

$y^{2} = - (- 2 x^{3}) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y^{2} = 2 x^{3} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$y^{2} = 2 x^{3} - K$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 x^{3} - K}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

Étape 3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = \sqrt{2 x^{3} - K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} - K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{2 x^{3} + K}$

$y = - \sqrt{2 x^{3} + K}$